http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=toom-03
������ �������� ����
������� ������� � �������
� � ������� ��������� � �������������, �������� ��� ��������� ����������������� ������� � ���� ��������� � ���������� ������������, �����, ��� � ������ ������, ����� � ���. [...]
������������ ����������� � ���������� ������������
���������� �������� ���������, ��� ����������� ����� ������������ ��������������� �������� � ������. � ���� ������������� ���������� ������ ����������� � ������� ������������ ��� ���� �����, � � ����, ��� ��� ������ � ���� ����������. ����, ����� � ������� � ��� ������, � ������ �������� ������� ����������� ����� ��������� ������� ��������, ���������� � �����������, �� �������� ����������� �� ������� �������. ��� ������ ����������� �� ������������� ���� ���������.
��� ���������� ������ ���� ������� ���������� ���������� ���������� ������������ ���� ����������� ������������. ������ �������� ������� �������, ���������� � ��������. ����������� ���������� ������������ ����� �������� �������� � ������ ������ ������� �������������, � � ���������� ��������� ��� �� ����� ����� ���������. �� ���� ������� ���� �������� ������ �������� ���������, �������������� � ���� ���������� �����. �������������� ���������� ���� �������� ��������, ��������� � �������� ������ ������� � ���������� ����������� ���� ����������.
��� 19 ��������� ������� �� ����� ����, �� ����������� �� ��� ��������� ������������ ���� � ������. ����� ������ ������ ��� ����������, ��������� ������, ������� � �� �����, � ������ �� ������. ��������� ������ � ��������� ���.
�� ���� � ������� � ��������. ��������� ��� ��� �����-������ � � ����������� �� �� ����� ���� ���������: ����� ��� ���������� ������� � �������� ������� ������.
��� ������ ����� �� �����... �
�� � ��������� ����, ����� � ����� ����������� ��� ���������� ������-��������� (2) � ��������� ������������ �����, � �������� � ���������� ����� ��������. ��� ��� ���� ������ ����, ��� ��������� ����� ����� ������, ��������� ���������� �� � �����. ������ ����� ���� �������� ��, ��� ������ �������� ������ �� ������, ����� �� ����� ������, ����������� � ����������� � ������ ���������� ������. ��� ������ ���� �������� ������� ������ � ������������� ���������.
����������� ����, ��� �������� �� ��������� �������� � ������ ����� ���������� �����, � �� �������� ��������� �� � ������. �������, ��� � ���� ����� ����� �������������. ������ ��� ��������� �� ����, ����� � ������� ���������� � ������������� ����������. ������ �������� ������ ��������, ����� ������������� ������ ��������� � ��������� ��, ��� �������� � ��������. ��������, �� ����� ������ ��������, ��� ��� ��������, ���� ����������� ��������� ����������� ������. ������ � ����� �� �����, � ���� ������� ������� ��� ����: ��� ������ ����������� �� ����� � ������ �� �������� ������� �� ������ ��� �������.
� ��� �������, ��� �� ���� ����� �� ����� ������������� ������ � ��������. �� � ������ ����: ��� ������� ������ ��������, ��� � ����! � ���� ����������� ������������� ������! ��� � � ������! � ��� ������ ���� ��������� ����������: �� �������� ��������� ������� ��� ���������, ��� ����������� �� ��� �������� ����� ������ ������. ���������, ��� ����� ����������� ����������, �� ������� � ������ �� �������� ��������, ��� ������ ��������� ������������ ������������ ���������. ������ �� ����� � �����, ��� ��� �� ������� ������������� ��������������� ����������������. �����, ������ ��������� ����, �������� ������� ��� ��� ����� �����, � ��� �� ��� �� ������ ���������; ����� ����������� ������� ��������.
��� ������, � � ����� ��������� �������: ���� �������� ��������� ��� ����, ��� ������� ������ ��� ���������; ���� ����������� ������ ����� ������ ��� �����. ����� � ������� �����, ��� ����������� ��������� ��� ������������ ������, ����� �� ��� ����� � �����. ������� � ������� ���� �� ����� ���������� ����������. � ����� ������ ���� ��� � ��������, ����������� �� ������. ������ � ���� ������� 10�10. ����� � �������� ��� �� 8�8, ����� 5�5, ����� 3�3, ��������� ������ ���� ����������, � ���-���� ��������� �������� ���������� � � ���� �������� 3�3.
� �������, ���� �� ���� ���������, ������ �����, ������ �������, ��� ������ � ��po�e � ������ � ���� ������� ���� �����. ��� ���� ��� ����� ������������ ��� ��������, �� ��� ��������, � �� ������ �� ���� ������ ���������. ����� ��� ��������� ���� ������������ ��������������, � ��� �������� �� ������������. � ��� �� ���� ������� �����: �����������, ��������� ������� ����� ������� ������ � ������������ � ���� ������. ������ ���� ������������, ��� ��� ��������� ����� ��� ��, ��� ��� ������. � �������� � ������� ������ ������ �� ������� � ������������� � �� ���� ������ �������� ������ �� ���� ����. ����������, ����� ����� �������� �� �����. � ��������� �������� � ����������: � ���� ������� � �������� ������� �� ����. ����� �� ���������. ��� ������ � ����, ��� ������ ���� � ���� �������������.
� ������ ����� ���������� � ���� ������, � ����������� ����������, ����� ��� ��������� ������ �����, ������� ��� ��������. �-�� ����� ���� ��������� ��������� �������������� ������, � ��� �������� ��� ������ �������-����������. �� ��������, ������� �� ������, ������������ �� �������������� ����, � ��, ��� �� �� ������, ������ �������� ������ ����. � ��������� �������� � ����� �� ������ ����� �����, � ������� ������� � ���� �� ��������. ��� ������ � ����, ��� ������ � ���� ���� �������������.
������� ���� � ������ ��� �������� ��������, ����� ������� ����� ������������ ���������� �������� �� ���� ����� ����. �� ����� � �����, ��� ����������� �� ���������������� �������� ���������, ������� �� ����� � �������������� ����������. ������ �������� ��������, ����� � ������� � ����� ��������-������������ �������. ������ ��� � �������� ������, ������� � �������� ������ ������������������ �������. � �� ��� � �����������, ��� ��������, ��������� ����������, �� ����� �������������, �� ���� ���� ������ ���. �������, ��� ���� ������� � ���������� � ������� �������. ������ �����, ��� �������� ���� ��������� ������������ ���������� �; �������� �� ������� �������������, ������� ���� � ���, ��� � ��� ����� ������ ������������������, ������ ��������� ����, ��� ��� ��� ����������. ����� ���������� ������� ������ ���� ����������� ���������� ������ �� ���������� ���� �� ��������� ���, ���� ��� �����, ��� � ������������ �������������, ����������� � ���������� ������. ��� �� ������ ������� �� ����������.
� �������, ��� ���������������� ���������� ���������� � ����� �������-��������� �������� ��� ������� � �������������: ����� ����� �� ���������, �� ��� ��������� ��������. ������� �� ��� ������� ������ ���������� �����������, ����� ����. �� ���������� ������ ����������������� � �������, ��� ��� ������������ �������� ���� �� �������� �������� �� �����������. ��� ������� ���������� �������: ����� ��� ���������, ������� ������ �������� ������� ������, ��������� ��� ����� ������, ������������ ������������ ������������, �������� ���� ������ ���������� �� ���������� �����, ��� �� �������� ������� ���� ���������.
���� ����������, �� ������ ��� ������� �����������, ��������� ��� ��-��������: �������, �� ���� �� �����. ����������� � ���� ������ � �� ���� ������. ������ ��� ����, ���� �� �� ��������� �� ���������, ������� � �� ������������ (3). � �� ������ ����� � ������ ������������� ���������, ��� ��� ����� ������ ��, ���� ������ �� ���� ���������� � � ��������, � ��������������. �������, ��� � ����� ������ �� ��������� �����.
��������� ���������
�����������, ��� �� ������ � ��������. ��� ��� ��� ������: ��������� ������������ ������ ��� ������, �������������� ��� ������������? ���, ��������, �� �������� � ���������� � ������ �����. ��� ��� ��� ������: ��� ������ ��� ������? ������, ��� ������ � ������ ������. �� ��������� ������� ����� � ���������� � ������� ������� �����, ������� ������ ��� ��� ��������: ��� ���� ��� ��������. �� ���, �� ������. ��� ������ ������������ � ���, ����� �������� ���������, �������������� ������� � ��� ������, � �� ���� ������. ��� ������ � ������� ��������� �� ���-��, ���� ������� ��������� �� ������� ������������ �����, ��� ���������� � �����������: ���� ����� �� �����. ���� � ������� ����, ��� ��� �� ����������� ������� � �������� ����������, ��� � ����� ���-�� ������������.
��� �������� ����� ���������, ��� ������������ �������� ������ ����� ����� �������, ����� ������� �������� ������ ���������� �� �������� �������, ����� � �� ������ ������� ����. �����? ��� �� ������: ����� �������� ���������� ������ �������� ����������: �������� ������ ��� �������� �����. ����� �������, ������ ���������� ���������, � �� ��������, �� ��������, �� ����������� ������������ �� ����� � ���� ������ �������. ��� ��������� ������������ ������ ���������� ������������������� ������������.
�������� ������� ����� �������, � ���, ��� ������ ��������� �������� ��� ����� ������, � ��������� ��� ����� ������. ��� ���������. �����������, ��� ��������� �������� ��������� ���� ������� � �����. ������, ��� �������, ��� �������� ������ � ������ �� ��� ����� ������. � ��� ��������� ������� ��� ����� ������! ������ �� ������������� ��� ����� ������� ���-������ �������, � ����� ����������� ������������� ���������, ��� ���� �� �� ��� ���� ������� ������ �������. � ��������������� ���������� ��� ������ ����������.
��������� �������� ��������� ������, ����������� ����� � ������ � ���������� ������, ��� � ��� ��� ������� ������ � ����������. ������, ��� �� ��, �� ����������� ������������ �������, ������� �� ��� ������: �������, ��� ��� ���������� ��� ���� ������ � ���� � �������������, �������� � �������. (� ����� ��������� ��� ��������� ������� �� ����� ���� � ����� ������������ ���).
����� ������ ����������� � �������� ���������� �������. ������ �������� ��������: ������� �������. � ���������: ���� ����� ������������ ����������. �� �������� �������� ��� � ����������, ���������������: ���� ��������� ����������, ��������� ��������� ������� ������, ����� ���������� ��� ������� ������. ��� ���� ����� ���� ��������� �������� ���������, ��� ��� ��������� ���� ��������� �������� ������. � ������ �������� ������ �� ������ �� �������: ����� ����������� �� ���� ��� �� � ���� �������� ���-��.
���� ��� ����������� ���� �������, � �������, ��� ��������� �������� �������. � ������ ����� �������� ���������� �� ������������� ����������, ���� ��������� ������� �� ������: ��� ������ ������� ��, ������� ������, �� ������ ����� ������, ��� ���, ����� �������� ����� �� ������.
��� � ����� ����� ��� ���� ������� �� ������ ����� ������� ������ ��������� ����� ���������; �����, ��� ����������, ��� �� ����� ������� ������, �� �������, ��� ����� ������ ��� ��� ������. � �������, ��� ��� ������, � �� �������, ���, ��� �� �����. ������� ��� ���� ����, ����� �������� �����������, ����������� ������� ������ � ������ ������. ������ � ����, ��� ������ ��� ������, � ��� ��� �� ��������, ��������� ��������� ��������� ������������ ������ ������ ��� ����������� �������.
������ ��������� �������� ��� ����� ������ ������ ���������, ��������, ���� ������� � ������� ������ �����, � ������ ���. �� ����� ������ ����, � �������� �� ����� �������� ������� ������� �� �������. ����� ���� ������ ����� �����, ���� �������� ��������� ������������ � �������������, ���� ��� � �� �������� ������ �� ���� ���-�� �������, � ��� ����� � ������ ����� ����� ������� ���� ������ � ����� �������� ���� ���. �� ��� ���� ����������, ��� ��������, ������� ������ ���� ������, ������ ��� � ������ �������������. ��� �� �������, ��� ���������� ��������������, ��� ����� ��������� ��� ��� �����������. ��� ����� ����� ������� ������ ��� �� ���������� � ��������������, ��������������� ��������� ������������ ����� ���������� ������� ���������, ��� ���������� �������� �����.
������ ���������, ������, ������ �� �������� � ������, ��� ������ ����� ����� �����-�� ������ ��������, ������ ������. ��� ������ ������ ���� � ���������, ������� � ������ �����, �������� � ��������������� � ����������������, � � ��� �� ���������� ������ ����������! ����� ��� ��������� �����-������ ������������ ����������! ����������, ������, ������ ��������, ��� ������ ����� ����� ������ ���, ��� ������������� � ������� � �� ��������� ��. �� ������ ������� ������������� ���� ������, ��� ������ ��������� � ��������������, �� �� ������� �����������. ��� ���� �� ������, ������ ������ ����������, ������ ����������� ��������������� ���������� � ������, ��� ���� ������� ��� ������� ������������� �����������. � ���� ������, �������� �� ������� ��������� ��������� ���� ����������� �� �������� ������ ��� ��� ����� �����: ��� �������� ������, ��� ����������� ���� �� ����� ���������, � �� �� �� ��������� ���������.
�� ����� �� ������, ����� ���� ��������, ������ ��� ������, ��������� �� ��, ��� � ��������, �������: �������, ��� � ����, ����� �� ����� ������������ ����������. � ������, ��� ����� ����� ����������. � ������ ������� ������������, �������� ������� ��, ��� �� �� ����� ������������ ����������, �������� �� � ���������� ���� �� � ���� ����. ������ ������������ ���������� ��������� �����, ������� � �������� ��� ����. ����������� ��� ���������, ����� ����� ������ ������ ������� ������ ������ �������� ��������� � �������� � ������. ��� ������ (���������), ��� ������ �������� ����������� � �� ���� ������������ ���������� � ��� ����� ������ �������������, ������� ����� ����� �� �� ��������.
� ��������� �������� � ������ �� ����� ��������� ���������� � ����. � ���� � ��������� �������, ��� ���� ������ ��� ���������� �������� � ������� � ��� ����� ��� ������� �� �����, � �� ��� ��������� ���� ���������� � ���������, ��������� ������ ��� ���������� � ���, ����� ��� �� ���� �� ����������. �������� � ������ ���������, ����� ������� ��������� ������ � ��������. ������ �� ��� ������������ ����� �� ���� ���, ��� ��� ��������.
� ������ ������������ ����������� � �� ����� ��� ���������, �������������� ��������� ����� �� ����������. ������, ������ ����� ���� ���, ��� ���� �� ����� �������� ������������. � ������ ��������������� ��������� ����� ���� ���, ��� ����� ��������� � ���� ��������. ������? ���� �������� �������� ���, ��� ��������� ����� ����� ��������� �������� �������� � ������������� ��-�� ������ � �������� ����5. ������ �������� ��������� � ���, �����, ������ �� ����� ����� �������������. ��������� �������� �������� ����������� ������ ������, �� ��� �� �������� (� ���������), � ��������� �� ����������� � ���.
� �� ��������� �������� �� ���� ���������. �� ����� ���� �� ������� �������� ������ ���, ��� ��������� ������� ����� �� ���� ������ ��� ���������, � �������������� ������� ������: ��������, ��������� ��� ���� ������� ����������� �� ���� ���, ��� ����� ������� � ������-�����, ��� ���������� ��������� �������������� � �.�. ���� �������-���������� ������ ���������� ��������, ����� ������ ���, ��� ����� ��������� � ������-�����.
�� ��������� � ����� ��������� ����� �������� �� ��� ������. ���� ������������� ����� �������. ��� �������� �������, � ����������� ��������� �� �������������� � �� ������, �� ����� �� ����������, ��������� ����� �������� ������� �� ��������. ������������� ����� ������ ���� ���� � ������������� �����, ��������� ������ ��������, � ������� ������������� �� �����. ������ ������ � ��, ��� �� �����, ���� ����� �� ����� ����. ��� ����� � ������� �������, � ������� ����� ��� � � ����������� �� ��������. � ���� ��������, ��� ������� ��� ��������� � ������������� �������� ���� � ����������� ��� ������ ���������������� �����������. ��� ��� ������� �������������� �� ��������� �������������: � ������� �� � ����������, � ��� � � ������ � �������, ������� �� ���� ��������. ��� ��-�� � ������� ���������, ������ ��� �� ��� ������ ����� �������������.
�������, ������ � ����� ���� ������� ��������, �� �� ���� ��� � ������ ����� ����. ������� �������� ���������� �� ������������. � ������ ������� ��������, ��������� � ����� ��� ���������, ������� ������������� �� ��� ������, ������� ������ �� ����� �������� ���������. � ��� ���� ������� � ����� ��� (� ������), ��� ������������� ����� �������.
�������� � ��������
����� ��������� �����������, ������ ��������, ��� ����� �� ������, ��� �����-���� (����������, ���������� � ��.) ������ �������� ������������� �� ������ ��� ���������� �������. � ����� �� �����, ��� ���������� ���� ��������, �����������, ��������, ��������������� ������, ����������, ��������. � ���� ���� �����������, ��� ������������ ��������� ��������� ��������������. ����������� ���� ��������� ��������� ������ ��������� � ������ � �������. ��, ��� ���������, ��� ������ ������ (������� ������ ����� � ���������������� �������������), ������ ������� �� ������, ������� � ������, �� ��� ������ ��������, ���� ���� ��� �� ������ �� ������ ������. � ��� ��� ��� � �������� ������ ������.
��� ���� ��������, ��� ��������� �������� ������� �������������� � ���� ���� ������ ������, ��� ������ (������� ������� ������ ������). � ��, ��� ������� �����, ���������� ������ �����������, ��������� ��������� �������. ��������� �������� ������: �� �� ���� ������ ��� ������. ���� ������������ ��� �������� �������. � ���-���� ������ �������. ������ ������: �� �� ���� ������ ��� ������. ��� ������� �������, ��� ��� ����� ������, ������� � �� ���� ������. �� ��� ���� � ��� �����������. ����� ��������� � �������. � ��� ������ ������� � ��� ������ ���������� ������.
�� ������, ��� ����� �� ������ ����������� �������� ������� ������� ���������. ��������, ��� ���������������� ������� ����� ������ ������������� ������ ���������, �� ����� �������� ������������� ������ ����� ����� ���������� ������ ������������� ����������������. ���� �� �������� �������� ������ ��������. � ��� ������� �������, ����� ������� � ��������� ����. ��������� �������� ���������� �� ������ �������� ������� ������ ����� ����������, �� �������� ��������� ���, ��� ������� ��� �������� � ��������� ������ �� ���� �������.
� �������, ��� ��������� �������� � ������ � �����, ��� �������� ������ �����������. �� �������� ��� ����� ���������� ������������ �������, �������� �������� ������ ����� ��� ������� �������, � ���� �����. ������ �� �������� ��������� ������������ ������� � ������������, �������� �������� ������ ������, � �������� ��������, � ��� ����� �������, ��� ��� ���������. �������� ����� ����� ��������, ����� �� ���� ������� �����������, � ����� �������, ��� ������ � ����� ���� ���� �������������, �� �� ����� ���� � ��� ������� ���������� ������� �� ��������������� ����������! � ��� ������, ��������� �� ����������, ����� ������ ������ ���������, �� ������ �� �������.
� ��������� �������, ��� ����������� ���� ��������� � ������ ���� ������ ��������������, ��������� � ������ (� � ����������� �����) ������� ������� ������� ��������, ��� � ���, ��������� � ������ ������� ���������. �� ����, � ��� ���� �����������: ������� ���� ������ ����������� ��� ����� ��������, ������� �������� ��� ���� � ����������� ������ ������ � �� ������ ������������, ����� ��� ���� ��������� �����������, � �� ������.
����� ������ ����������
�� ������� ����� ��������, ��� ������� ������ ���� ���������. ��� �� ���� �������: ����� ��������������� �� ����� �������, ����� �������� � ������� ���� ������� ����������. �� �� ��������� � ������� ��������� ��������: ����� ��������������� �� ��������� ���������� �������� � ������� �� ������������ (� �� ������� ������ ��������� � ���������� ����������� ��������). ��-���������� �������� �������� ������ ���� ������� � ������ ����������������� �� �������. �� ���������� ��������� � ���� ����� � �������: ��������� ��������������� � �����. ������������� � ��������� �������� ����� ����� ������ �� �����������. � ������� ��� ���������� ����������� ������������ �����������, ��������� �����, ����� ��������� �������. �� ��������� ��� �������� � �������� �� ������������ � ������ ���� ��������� �������� ����.
�������, �� �������� � ������ ��� ����������� ������-���������, � ��� ���������� �����, �������� ���������� ����������� �� ��������������, ��������, ��������� ���������. �������� �� ���� ��������� �������� ������������� ������ �������������� ������. �� ��� ������������� �� ����� ��������� ������. � ������ ����� ���������� �������, ��������� ���������� �����, � ������ �������� � ������� ���������� ���� ��������. �������� ������� ������������ ����� �� ����������� (4). �������� ������ ���� �� ������, �������� �� �������������� � ������ ������, ��������� �� ������ ����������� ����� �������� ������ �������. � ������ ���� ����� ���� ������ ������������, ���� ���� ������, �� �� ������ ������, ����� ��������.
����������� ��������� ������ � �������, �� ������������ ������ �����������. ������ ����� �� ������ ��������� ������������ ��������, �� � ������� ��������� ����, ������ ������ ���� ����� � ���������� ������������. � ��������� ����� �������� ������, ��� �������� ������ ��������� ������� ����������� �����. ������ �������� ������������ ��������������, ����� ���������� �� ����� ������� �������, � �������� ����� �����������, �������� ��������� ����� � ������. �� �� ������� ����������� � �������������, ����� ������� ����� ������������ ��������.
�������, ������ ������������ �������� �����, ��� �������-��������� � ���� ��������������� ������, � ��, ��� ������������� ����� �������, �������� ������ �����. �� ���������� �������� ���� ����, ������ �������, ��� ������� ������ � � ����������, � � �������, � ��� ������ �����. ���� �� ���� ���������, ���� ����, ������� �� ��������� ������� � ���������� �����. �� ���������� ����� ��� ������, ������� �����. � ���������, ��� ���� �� ��� ����� ����� ����������, ��������� ����������� ����� ���� ������������: ������ ����� �� ���� � ��������. ��� ��������� ������, ������������ ����, � �� �� ��������, ���� �� ����� �� ���. �� ������ �������� ���������� �� ��� ������������, � ��� �������� ������ ���� ���� � ��������������. ���� ������ ������� � ��� ������, ��� ���� � ���� ������ ������, �� �� ������ ������� ������, ��� ��� ��, �������� ��� ���������� � �����������. �� ��� � ����� �������, � ����� �����. �� ��� �� ����� ������, ���� �� ������� ��� �������, �� ������ ������ �� �����, � ��� ��� ����������� ����.
��� ������������ ���������� ��������� � ������������
������, ��� ������� ����, ���� ���������� ����, ��� ���, ��������� ������������ ������ � ����������� � ������������. ����� � ����������� � ���� �� �����������, ��� �������� �������� ���: ���� �� ��� ����. ���� ����������� ����, ����� ������ �� ����, ��� ����� � ������� � ���-�� ������, �� ���������� �����������. �� ���� �����������, ����������� ������������ ����������� �������� ����������������� ������������. �����, ������������ ��������� �������, ��� ������ ���������, ������ ������� � ����, ��� �� �� ���������. � ����� ���������� � �������� ��������� (������������� ��� ���) ���������� �����������, �� ������� ��������� ������ ��� �����������. � �������� ������� ��� � ������� ����� � ������ ���� �����������. ������������� � �������� ������� ������, � ������������, � �������� ���������� ���������� ������ ������ ������� � ����� ����������. ��� ������� (��� � ����� �������) ������: ���� �������� ���������, ��� ���������, ����������� ������, ��������, ��� �������� �����������, �� �� ����������� � �������, ������� ���� ��������.
��������� ����������� � ������������ ��������� ����������� � ���������� ��������� ��������� � �����. ���������, �� �� ����. �������, ���� ������� ����� ���, ��� ������ ������ ������� ������. �� ���-���� � ����� �������� �� ��� ����������, ��� ������� ��������� ������������� (5). �������, ������ ��������, ������� ������ ������� ������� �����������. �� ������ ���� ��������, ������� ������������� ����� �������, � ���� ��� ����� ������� ����. �� ������ �� ���� ������ ���� ��������, ����������� � ������� ������ �� ����, �� ��� ������ ����������. ��� ����������, ���� �� � ����������� �� ��������� ���, � ���������� ������������ ������������ ���� ������. ��� ������ �������� ��������� ������������� ����, ��� ��������, ��� ����� ����� ����� ����������� ������ �� �����. �� ��� ��� ����������� �������� ��������: ��� ������ ���������� � ���� ������, � � ������ ��� ������ ������. �� ��� �� ��� �� ����� ������, ��������� ��, ��� � ��� �������� � �� ��������� ����������.
� ����� ����������, ����� ����� �������� ������� ������������ ���������. ����������� �����, ���������� �����, ������ � ������ ������ ������ ������� ���������� �� ��������, � ������ ���� ������ ������� ����� � ������, ����� �������� ����, ��� ��� ������� ����������. ������ ����������� �������� ����������, ����������� �����������, ���������. ��������, ��� � ������� ������� ����� ���������. �������, ����� ����������� ���� ��������. ������, ����������� �������� �� ��������� �� �������� � ����������. ������� �� ���� ����� ���������? ������, ��� � ���� ������ � ���.
����� ����������� ������������ ������, ��� ��������� ���� � ��� �����, � ������������ ��� ���, ��� �� �������� ���������� ������. � �����, ��� ����� ������ ������ � ���������� ��������� ��������� �����. ��������� ����������� ������ ������������, ������: ���� �������� �� ��� ������, ������, ��� ����� ����������. �� �� �� ����� ������� � �������� �����������. ���������� �������� �� ��, ����� ������ ���� ���� ��� �������, ���� ���� ������� �� ������� ����������� �� �������������. ������� �������� �� ��, ����� ����� ���, ����� ������� ������������� �������.
� ��������, ��������� ������� ���, ��� ��������� �������-���������, ����� �� ������� �������� ������������ ������, ��������� ������� ���������� � ��������� ���� �������������� ��������, ��� ���� ������ ��������� ��������. �����������, ��� �������������� ������� �������. ��������� �� ������ ��� ���������� ��������� ������ ������, ��� �� �� ������ �������� ��� �� ����������? �� �� � ������������. � ���� �� ����������� ����������� ��������: ��� ������ ������ � ��������������������.
������ ���� ��������� ������ �������� �������� �� ������� ������ � ������������, ����� ��� ���������� � ������������ ����. �������� ������� � �������� ��������� ������ ������� ������������� �������� ������� � ��������, �� � ������, ��� ����������������� ������ ������ ������ ���� �� ����� �����. � ���� ������ ��������� ������������ ����� ����� �������� ������������ ������� �����������, ��� ����� ��������� ������: ����������� ������������ ����������� ��������� ��� ����� ������ ����������� � ������������ ��-�� ������������ ������� ��������������.
��������� ������ �� ������������ ����������
� ����� �������� ���� ��������� � ���������, ��������� ��������� ������������� �� ���������� �������: ������� ����������� ���������� ����� 0,99999... ��� ����� ������ ������� ��� ����� �������? ������ ����������� ������, ��� ����� ������ �������. ����� � ���������, ��������� ������, �������� ���� ������ ������ � ����������� �� ����, ������ �������������� ��� ����������. ��� ���������� �������� ����������, � ������� ��������� ���, ��������� ���������, ��� ��� �� ������������� ��������. ������ ������� �������� ��������, ��� ������ ��� ����� ������, � ��� �������� ��� ������� ��, ��� ��� ��� ���������: ����� ����� �������.
�� ������ ��������: ����� � ������� � ����, ��� ��������� ��������� ��������� ������������ �������, �� ��� � ����� ����� �����? ������ ��� � �������, ��� ������������� ������ ������������ � ��������� �������� � ����������� � ����. ���� �� � ������ ������, ��� ����� ����� �������, ��� �� ������ �����������, �� ��� �� ������ � �� ������.
������� �������� ���� �������� ������ ���, ����� ��� ��������� ���������� �� ������. ���� ������� ��������, ��� ��� �������������� ����� ��� ����������� ������. ��� ��������: ������ ������� �������� � �����, �������� � �������, ������ � �������� (������� �� ������ ���������� �� ��, ��� ��� ��� ����������). ������� ������� ��� ����������� ����������� � ���-���� ������������� � ��������� � �������, ��������� ��� ���� ��� ����������� ��������� ����� ����������.
�� ������������ �������� ������� ������������� �� �����, ��� ��� ������� ��������, ���� ����� ��������������. ����� ��� ��������� ������� �� � �������� �����������, ��� ������������ ��� ��� ��������� ����� �������������� ������. ����� �����������, ��� ��������� ������������ �������� �� ����� ��������� ���� ������������ ������������ ����� � ���������������� ������������ ��-�� �������� ������. ���� ������ ������������� �� ����� �� ����� � ����������� ������, ��� ������� ��� �������� �������, � �� �������������� ���������. �� ��� ��� ����� ��������� ��������� ������������ ���������������� ���������? ��������� �������, ��� ��� ������ ��������� � ������ ������, � ���� �� ������� � �� ��� �����������. ��� ������� ���� ���������� �������� ���������� ������ �� ��������� ���������� ����������� � ���������, � ���� �� �����, �� ��������� ���� ������������ ������������ � �� ����������� � ����������� ���������������� ��������. ���������� �� ������ ����� ��������� ���������� �������� � �����. ������� ����� �����, � ���������, ��� ����� �������� �����������, �� ���������� ������ ����������, ��������� �������������� ������. � ������� � ���� ���� ������, ������� ����� ��� � �����: ��� � ��� ����� ������� ������ �� 2 ����. ��� � ����� ������� �� �� ������ �� 3 ����, ��� � ����� � �� 4 ����. ������� ������� ����������� ��, ����� ������� ��� ������ ������? ���� ��� ������ �������� ������������ �������� ��� ����������� ��������������� ����������, 6���������� ���� ��������� �� ����� ������ ��. ���� ��������� �������� ��������� ������� ���������: � + � = 2, � + � = 3, � + � = 4, �������� ������ ������ � ��������, �� ���. �, � ���� �������, �������, ��� ��� ����� � ���� ��� �, � � � � ����� ��� ���-�� ������. ��� �������, ��� �����, � ���� ������ ����, ���� � �����. � �������: ���� ���������������. ������� ������� ��������� �� �� ����������� ������ ���-�� �����, �� ���������� ���������� ��� ��� ������ ������, ����� �� ��������� � ������ � ��������� �������� ��� �������. � �� ��� ��� ����� �� ����, �� ��� ��� ��� �������? ���� ������ ������� � ��� ������, ��� ����������� ��������� �� ����� ��������� ���� ������, ����������� ��� ��� �������� ���������. ���� �� ������� ��� ������, �� ������ ������� ������ �� ������. �� ���� �� ������� ��� ������, ��� ������ �������� � ���������� � ��� ��������� �����������.
��� ���� ������, ������� � ������� � ���� ����: ���������� ����� ������������ 5 ����, ����� ���������� �� ������� ��������� �� ��������, � 7 ����, ����� ��������� ������� �� ��� �� ��������. ������� ������� ����������� ���, ����� ���������� �� �� �� ���������� �� �����? ����� ����� �������� ����������� 2/(1/5�1/7)=35 ����. ������ �������� ������ ������, ���� � ��� ���� ����� ������� � ������� �������� ��������� �� ��� ������.
�� ��������� ������� ����� ����� �������-���������� � ��� ������: ����� � ������� �������� 1000 ������ �������, ��� ��������� 99% ����. ���� ��� ������ ������������, ����� ���� ���������� � �� ���������� ����� �� 98%. ������� ������ ����� ������? �������� ���������� �� ������������, �� �� �����, ��� � ���� ������. ����� ��������� ����� ���� ��� ������� � ������������ �����. � ����� ������� ��������������, ��� �������� ������� ������ ���������������� ���������! �������, ��� �� ���������! ��� ���� ��������� ��������� ������� ��������, �� �����, � ��������� ������ �������!
�����, ����������, ��� ����������� ����� ��������� ��� ������ ������ ���������������� ���������. �� ����� �� ��� �������� ������� �����? ���� ����, �������, ��������� ���� ������ �� ��������������� ��� ������� ��������������, � ����� ��������������� ����������: ������������� �������� ������ ������� �����. �� ��� ��������� �������� ���� �������. ����, �������� ��������� ��� ��������� �������, �� �� ��������� ������ ������ �����, ��������� ������� ����� ������������ ����������� ������� �����������, �� ���� ��������� ����, ������� �� ���� �������. � ��� �����-�� �� � �� �����.
��� ������, ����������� ����, �������� �� ������ ������� �����. ������� �������� ����� � ������ ������� � �������� ���� ���������������� �����������, ����������� ����� ��� ������� � ����������� ����. � ���� ���������� ���������� ������ ���, ����� ��������� ������ ����� ������, � ���, ��� ������ �� � ������������, ������ ����� ������� ���������� � ������������. �� � ����������� ���� ���������, ������, �� ���� ������ �����. ��� �� ��� ��� ����� ���������� � �����? ������, �� ������� ����� ��� ��������� ��������, �� ���� �������� ���������� ����� ����� ���������� ��� �������. ����� ����� ������, ��������� ���������� ����� ������������. ��������, ������� �� ��� ����� � ����������. ��������, ����� ����� ���� ������ �������� ���������� �� �����������, �� ��� ����� ������������ ���������� ��������, �� ���� �� ����� ���������������, ������ �� ������ �������������. ���� ���������� �������, ���� ��������, �� ����� ������������� � ��������� ����-�� �� ����� �������. �� ���� ������ ������� �������� � ���������, �� �� ���������, ������ ������� ������ ����� �����, �� ������� ���������������� ���� ������ � ������� �� ����� ������. �� ������ ���� ���������, ��� ���� �������� �������� ���������� ���������, �� �� ������ ����������� �������������� ���� �������, ��� �������� � ���������. �������, ����� ������, ��� �������, ������� � ��� ����� ������ ���� ���������. ��, �������, � ��� �� �������, ��������� ������ ��� ������������ � ��������� �����.
� ������������ ���������� ��� ��������������
����� ����������� ���������� ���, ��� �� ����� ��������������� �� ���������? ��� ������������� ������, �� ������� �������� ������, ����� �������� ��������� ��� �����. ����, �� ������� ����, ������, ��� �� �� ����� ������� ������������ ������. ����������� ����� ����� ���� ���������� ����������� � ������������ ����� � ������. ��������, ���������, ����� � ���������, ������ � �����������, �������� � ���������, �������� � ���������, ����������, �������� � ������ �� ������ ���������� ���������, �� ���������� ������� ��������, ������� �����, ������������� ����������, �� �������������� � �� �����������.
����������, �� ���������, ��� � ������ ������������ ����������. � ��. � ���� �����������, ��� �������� ���������� ����� ����� ������ �����, ����� ��� �������� ���� ������, ���� ������ ������ (6). � �� ���� ����� ���� ������� � ��� �� ����, ��������, ��� � ���������� ����-��� � ��� ����������� ������ ������, � ��� ������� ������, ��� ������ �������� ����������� (����� ����, � ��������� �������� ������� �������� ������� �����). �� ������ ����� ������ ����������� ����� � ������������� �����. ������ ����� ���������� ��� ������������ ����� ������� �� �������: ������ ���������������� ����, ������� �������� � ����� ���. �� ����, ������� ���������, �������, ���� ��������� ������������, �� ����� ���, ��� ���������� ������.
� ������� ������� ����� ����������, ��� ����� ����� ��������, ��������� � ������ ��������� ���� ����� �����, �������, ����������, ������� �������� ��� ���������, ��� �������-���������, ������� � �� ������, � �� ���������. �� ��� �� ��� ��-�� �������� �����. �����������, ��� ����� ����� ������� ������� � ��������, ������� ������� ������ ������ ��� �� �������, � ����� ������� �������� ������� ���� � �������������� ����� ��������. ��������� �������� ������, � �� ��������� ������� �����. �������� �������� ��������, ��� ��� �������� ������ ������ ������ ��������� �������������� ������. � ����� �� �������� ������ ���� ������ ��������? ����� ����� ������� �� ������ ��� �����������? ��� ��� ����� ����������?
����� ��������� �����������, ������ ����������� � ������� ������ ��������, ��� ���� ����-�� ����������������� � ������������. �� �������� �� ����������� ����������� ����� ���, ��� �� ����� ������������ ����������? �������, ���. ��� �� ������? ����� ������! ������� ��� �������������, ����� ������ ��������� � ������������� ������� �������� ��� ������ ����� � � �� ��������� � ��������. �� �������� ���, ��� ����� ����-�� ������������ � ��� ���� ��������� ����������� ������� ���, ��� ��� ������������� ������������, � ����� � ����������, ������� �� �� ������, ������� ���, ��� ��� �������� ������������ �����������. �� ������� ��� ������� ��������.
������... � ���?
������������ ����������� ������������ ���������� �����, � ���������. ������ � ���, ��� ������ ������������. �� ���� ������������� �������, �� ��������, �� ������� ����, ������� ��������. ������, ������, �� ����� ������ ������� ��������.
� ������� ������, ��� ������������ �������� ������ � �������� �����������, � ������ � ������, ��� ��� � ��� ������ �� ������. ��������, � ������, ��� �������� � ���������� ������� �������, ��� ������ ���������� ������ �������� ����������� ������� �����������. ��� ������ �����������, ���� �� ��������, ��� ������� ������ �� ������ � ��������. �������� ���� ������������� �� ��������� ������ ����� �������, ��� ��������. ���� �� ������� ���� �������, �� �� ������ � �����������, ��� �� ���� � ���� ������ �� ��. ��, ��� ������ �� ���� � ����, ����������. ��� �� ������, ��� ����������� ���� ��� ������� ��������: � ��� � ���� ������ ������������ �������� ����������� �� ������, ��� � ��������.
����� ����������� ��������� ������� ������� ������ �������� ������� �����������, �� �������������: ������� �����, � �� ������ ������� ���� �������, ��� ������, ��� �������� � ����� ���! ��� ����� ���������� ����������� �� ���������. �� ��� �� ����������� �� ���, ��� ������������� ������ �������, �� ����, �� ���������, ��������� ���� ���������� ��������� (������� �� ������ ��������� ������������) ��������� ������������� ���, ����������� ��� ������������� �������� �����.
� ���������� ������������ (� ����� ����������� � ���) ��������� ������ ���� ��, ��� ����� ���� ����. ����� ������ �������� ���� ������, �� ����� ��� �� ������, ��� �� ���� ��������������, � �� ��� ������������� ������������. ����, ��� �� ������ ���������: ����������� ��������� � �� �������. �� ��� �� �������� ������. ���� ��� ���� ���� ��� ��������� ������, ��� ����������� ����� � ���������, ���� �� �� ������� ����������������. ������� ���� ������� ������� ��� ��������, � ���� ���� � ������� �� ���, �������� ������� � ��������, ��������������� ��������� ����������� � ������ � �������� � ������ ������ � ���������� ���������� ������. ������ �������� ��������� ����� ���������� ��������, ���������� �������, ����� ������������ ����������� ���������� ������, ����������� ��� ������������� ��������.
� �� ������ �������, ��� ���������������� ����� �� ����� ���� ��������� ����� �����������: ��� ��������� ��� ��������, ������� ��������� � ������������ �������. ������� � ������� �� ����� ������� � ������ ���������: ���������, ����� �������� �������!�. ��������� ����������. � �������, � ��� ����. ���� �� ��� ��������: ���������� ����, �� ��� ����� ������� ���� ��������!�. � � �����, ��� ��� �������, ������ ��������� ��-��� ����� ������ � ������� �� ������������ ����������������, ������������� �� � ����� �����������, ��� ����� ���������� ���� ��������.
������ ������ ���������� �������: �� �������� � ��������� �����, �� ��� �������. ��, ��������� ������ ��������� �������� �����, �� ��� ��� �� ������, ��� ������� ��������. ��������� ��������� ���������, ������ ��� ���� � �������� ���� ������������ ��������� ��������, ����������� ���� ����������, �������������� ����������, ����������� ���������� ������ � ������ �������� �� ����������� ����������. ���������� ��������, ����� ������ ������������ ��������, �������� �������� ����� ����������� � ������������ ������������� ���������� ��������� ������. ����� ����� �������� � ������� �������, �� � ������, ��� ������ � ��������������� ������ � ����� ���������� ������� ����� ������ ����.
� ���������, �� �� ����� ������� � � ��������� ����� ������������� �����������. � ����� ���, ��� ������ �������, � ����� ���, ��� ������ �����, ���� ����, ������ �� ����������, ��� ����� �����������. ��� ��������� ��� ������� �� ��������������� �����, � �� �� �������� ��������. ��������� ���������, ��� ������� � ���� ������ �� �������. ���� ����� �����, ��� ������� ������� ����������� ���� ������������� (��������, ������). � �� �������� � ����, ��� ������� ��� ���������� ������������� ����������. � �� ��������� ���������� � ������������ � �������� ������������. � ���������, ��, � ��� ����������� �, � ���� �������� �����������. ����� ����������� ������� ���� ���� (� ������������ ������), ����� �������� ������, ������ �� ���������. � ���������� ��������������� ������ ������������� �������� � ������ ����. �� ������ ������, �� � �������, �������� ��� ��������� ���� ���� ��������, ���� �� ����� �������. �� ������� ������� ��� ������� ����� ������� � ������� ������, �� � ������������� ������� �� �������, � �� �������.
��� �����, ��� �������� ��������� �����, �� �� ������ ��� ������. ���� ������� ��������������: ����� ������ ���� ������������� �� ����������� � �� �� �������� ������������� ������ ������! ������������� �� ������ � ���� ����� �������� �����. (�������, ��� ���� � ������������ ������, ������������� ������ ��������� ��, � ��� ������� �� ��������� ��������. ��� ��� ���� �������������� ������� �� �������� �� ��������������, ������� �������� �� ����� �� ����������.) ��� ��������: �������� �������� �������� �������, ����� �������� � ������� � �������� �� �����, �������� �������� �������������� �����, ������ ������������ � ����� �������������, �������� ������� ��� � ������� �� ������������. �������, ����� � ������������ ���� ���� ��������: ���-�� ���� ����� ����� ��������� �����������, ��� ��� �� ������� ����������.
� ��� ������ �������� ������? ���������� �� ���? ��, ��� ������ ���� ������, ������������ �������� ������ � ����� ����. ����� � ������ ��� �����, ��������� ������� ����� ������ ���������� � ��������, ����� � �������, ����� �����, ��� ������� ����� ������������ ���� � ����� ������ ������� ����. ������� � �������� ����������� ������ ������ � ����� �������: ��� ������� ���. �� ��� �� ����� ������������ ����� � ��������, ����� �������� � ������ �������������� �������� ���� �����. �����, �������� ���������� ���������� � ��� ��������� ��������� ������ � ��������� ������ ���������� ���������, ��� ���������� ������ �������������� ��-�� ���������������� ��������� ������� �����������. � � ���� ���������� ���� ������� � ��������� � ��������� ������ �������� ������, ��������������� �� �������, � �� �������� �������. � ���, �������, ���� ����� ���� ������ ����, � �� ������ � ���.
� ������� ��������� ���������� �������� ���������� ���� ���� ������������� � ������ ����������� � ����. �� ���� ���, ��� ������������� ����� �������. ����� ����� ������������� ����������� ������������� ��������� ���������, � ����� �������� � ������������� ������, ����� ��� ����������� �������-����������? ���� �� ����. � �� ����, ��� �����. � ������ ��� �� �����, � ������� ����������� ��� �����. �� ��� ���� ��� ������, ��� � ����������� ���� �������� ������ �� ������, ������� ����� ������������� ����� ����� ��������� ������ � ������ ������. � �������� �����, ����� ������� ��������� � �� �����.
����������
(1). ������ ���������� � ��������� ������ � ����� �����. ����� ������� ������ ������� �������, �� ������: ����� � ������� ��� ��������� ���� ������� ��������� �����, ��� ������ ����������� ������������� �������� ����������. ������ � ����, ��� �� ���� ������.
(2). ������ �������� �����: ���������� II ��� ������� � ���������.
(3). ��������, ��� � �� ������� ������; � ������ ����� ��������� ������� � �������� ������� ���� ���������. ������ ��� �������� ������������.
(4). ��������, � ����� ���� ����� � ����� ������� � ��������� �����, ��� ��������� ��������� ������ ������� � ��� �������, �� ��� ����� �� ����������� ������� ����. ��� �� ��, ��� ����� ��������� �����, �� �� ����� ��� ��������.
(5). �������� ���� (� ������ �����): ���� ���������� � ���������� ������ ����� ��� �, ������� ��� ������ ����� �� ������������.
(6). ���� ��������� ������ ��������� ������� ������������ ������. ������� ���� ������ (�� ���� 12 ���) ����������� �������, � �� ����� � ������� �������. ��� ������� ����, �� �� ����� �����, ��� � ��� ������� ���������� ����. ����� ��� ������� ��������, ����������� �������, ��������� ���������� ����, ���������� ����� ��������� ��������, ��������� ��� ����� �� ������ ����� � ����������� � ���. ��� �� ��������� ������ ��� �������� ���������� ������ ����, ��� �� ���� �����. � ��� ��������. ��� ���������� ��������������� ������� �����. ����� �������� � ����� ����������, ������������ ��� ������������� � ��������� ��������, ��� � � ����� ������� ������!
���������� ������.
1. ��������� � ��� �������, ��������� � ������������� (� ������ � ������) �� ����� ����. ����� ��� ����������� �������� ���������� ����, ����� ������� ����� ����������� � �������������� ��������, �������, ��� ��� ���� � �� ��, ������ ������ � � ����������, � ��������� � ��� ���������. ������-��������� ��������� �� ���� ����������, ��������� ��������� ���� �������.
2. ������ �������� ������� � ������� ���������� 4 ����: ������� � ������� ��������������� ��������� (Journal of Mathematical Behavior), 1993, ��� 12, N2, �. 117-139. ��� ������� ����� ������. � ����������� ������������ � �������� ������������ ������������ (American Educator), ����� 1993, �. 9�25 � ����� (Focus), 1996, ��� 16, N3, �. 9�11 � N4, �. 9�11; � � ����� ������� �������: ������� ��� ����������� �������� (Distant Mirrors: America as a Foreign Culture) Ed. by Philip R. DeVita and James D. Armstrong. 2-e izdanie. Wadsworth, 1998, str. 108�124. � ������� ����� ����� �� ���������, � �������� �������������. Albert Shanker, ���� ��������, � ����� ��������� ������������ ��������� ��������, ��� ����� ���� ������ � ��� ���������� ������� ���� � ��� ���� (Where We Stand) � ��� ���� �����, 10.10.93, �. E7.
������� � ����������� �.�. ����������